Содержание:
Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:
a n = 
В выражении a n :
— число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени
— число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени
Например: 2 5 = 2·2·2·2·2 = 32, здесь: 2 – основание степени, 5 – показатель степени, 32 – значение степени
Отметим, что основание степени может быть любым числом.
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).
Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 10 8
Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10 n , где 1 3 ;
103000 = 1,03 · 10 5 .
Свойства степени с натуральным показателем:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются
например: 7 1.7 · 7 — 0.9 = 7 1.7+( — 0.9) = 7 1.7 — 0.9 = 7 0.8
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются
например: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.
например: (2 3 ) 2 = 2 3·2 = 2 6
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
(a · b) n = a n · b m ,
5 . При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель
Видеоурок 1: Свойства степени с натуральным показателем
Видеоурок 2: Степень с натуральным показателем и ее свойства
Лекция: Степень с натуральным показателем
Степень с натуральным показателем
Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число "n" должно быть целым и не отрицательным.
а — основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя,
n — показатель степени — он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.
8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
В данном случае под основанием степени понимают число "8", показателем степени считается число "4", под значением степени понимается число "4096".
Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание — ЭТО НЕ ВЕРНО!
Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом.
В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.
Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень.
Сложение \ вычитание — математические действия первой ступени, умножение \ деление — действие второй ступени, возведение степени — это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших.
Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.
В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть
затем полученный результат умножить на 6, то есть
Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие "стандартный вид числа". Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.
Например, для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:
6400000 м = 6,4 * 10 6 м,
а масса Земли, например, записывается следующим образом:
Свойства степени
Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:
1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.
2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.
3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.
4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.
(a * b) m = a m * b m
(5 * 8 ) 2 = 5 2 * 8 2 .
5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.
6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.
7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.
Нижеприведенная формула будет являться определением степени с натуральным показателем ( a — основание степени и повторяющийся множитель, а n — показатель степени, который показывает сколько раз повторяется множитель):
Данное выражение означает, что степень числа a с натуральным показателем n является произведением n сомножителей, при том, что каждый из множителей равняется a .
Содержание
Правило чтения и записи степеней с натуральным показателем
Краткую запись произведения одинаковых сомножителей очень удобно использовать, — длинная строка описания математических действий сокращается до записи нескольких шагов:
17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857
17 — основание степени,
5 — показатель степени,
1419857 — значение степени.
Степень с нулевым показателем равна 1 , при условии, что a \neq 0 :
Когда нужно записать большое число обычно используют степень числа 10 .
Например, один из самых древних динозавров на Земле жил около 280 млн. лет назад. Его возраст записывается следующим образом: 2,8 \cdot 10^8 .
Каждое число большее 10 можно записать в виде a \cdot 10^n , при условии, что 1 и n является положительным целым числом. Такую запись называют стандартным видом числа.
Примеры таких чисел: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5 .
Можно говорить как и « a в n -ой степени», так и « n -ая степень числа a » и « a в степени n ».
4^5 — «четыре в степени 5 » или « 4 в пятой степени» или также можно сказать «пятая степень числа 4 »
В данном примере 4 — основание степени, 5 — показатель степени.
Приведем теперь пример с дробями и отрицательными числами. Для избежания путаницы принято записывать основания, отличные от натуральных чисел, в скобках:
(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7 , (-1)^4 и др.
Заметьте также разницу:
(-5)^6 — означает степень отрицательного числа −5 с натуральным показателем 6.
-5^6 — соответствует числу противоположному 5^6 .
Свойства степеней с натуральным показателем
Основное свойство степени
Основание остается прежним, а складываются показатели степеней.
Например: 2^3 \cdot 2^2 = 2^<3+2>=2^5
Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями
a^n : a^k=a^, если n > k .
Показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.
Данное ограничение n > k вводится для того, чтобы не выходить за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при n > k показатель степени a^ будет являться натуральным числом, иначе он будет либо отрицательным числом ( k ), либо нулем ( k-n ).
Например: 2^3 : 2^2 = 2^<3-2>=2^1
Свойство возведения степени в степень
Основание остается прежним, перемножаются лишь показатели степеней.
Свойство возведения в степень произведения
В степень n возводится каждый множитель.
a^n \cdot b^n = (ab)^n
Например: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3
Свойство возведения в степень дроби
В степень возводится и числитель и знаменатель дроби. \left(\frac<2> <5>\right)^3=\frac<2^3><5^3>=\frac <8>